حل أنظمة المعادلات الخطية

يتكون نظام المقارنات الخطية من عدة مقارنات وله عدة مجهولة. نناقش هنا طريقتين لحل نظام المعادلات الخطية مع مجهولين: طريقة الاستبدال وطريقة الإزالة.

تعريف

يحتوي نظام المقارنات الخطية على عدة مقارنات وله عدة مجهولة. عندما تكون المعادلة الخطية العادية غالبًا ما تكون غير معروفة x ، فإن نظام المعادلات الخطية ، على سبيل المثال ، x و y غير معروف. سنقتصر هنا على الأنظمة ذات المقارنات والمجهولين ، ولكن بالطبع هناك أيضًا أنظمة المقارنات الخطية مع أكثر من مقارنين وأكثر من مجهولة.
مثال على نظام المعادلات الخطية هو:
1) 3x - 2y = 4
2) 2x + 4y = 6

من هذا ، يجب أن نجد x و y اللذين يمثلان حلاً في كلا المقارنات. من الخصائص المميزة لنظام المقارنات الخطية مع مجهولين أن المقارنات الفردية لها حلول لا نهائية. ومع ذلك ، في معظم الأنظمة ، يوجد حل واحد فقط صحيح لجميع المقارنات.
ومع ذلك ، هناك أيضًا أنظمة لا يوجد لها حل. الأنظمة التي ليس لها حل تصبح عكس أو غير متساوق قال. يكون النظام متناقضًا إذا كان يمكنك اشتقاق معادلة لا يمكن أن تكون صحيحة ، على سبيل المثال 0 = 2.
هناك أيضًا أنظمة لها حلول لا نهاية لها. غالبًا ما يكون لهذه المقارنات عدد أقل من المقارنات المجهولة ، على سبيل المثال مقارنتان وثلاثة مجهولة. في هذه الحالة ، لديك القليل من المعلومات حتى تتمكن من العثور على حل فريد.
سنناقش طريقتين يمكنك من خلالهما إيجاد حل لنظام المعادلات الخطية (إذا كان هناك حل فريد). هذه هي طريقة الاستبدال و طريقة القضاء.

طريقة الاستبدال

طريقة الاستبدال يعيد كتابة أحد المجهولين من حيث المجهول الآخر. على سبيل المثال ، إذا كنت تعلم أن x = 2y + 4 ، ثم في معادلة حيث x ، يمكنك استبدال x بـ 2y + 4. والنتيجة هي أن تحصل على مقارنة مع واحد فقط غير معروف وهذا حل أسهل بكثير .
سنوضح طريقة الاستبدال بالمثال المذكور أعلاه:
1) 3x - 2y = 4
2) 2x + 4y = 6

نحاول الحصول على مقارنة بين x في جانب واحد و y على الجانب الآخر. نقسم أولاً المعادلة الثانية على اثنين:
س + 2 س = 3

الآن نحصل على 2y إلى الجانب الآخر:
س = 3-2y

الآن لدينا مقارنة مع x من ناحية و y من ناحية أخرى. الآن في المعادلة 1 ، يمكننا إدخال المصطلح 3 - 2y لـ x:
3 * (3 - 2y) - 2y = 4

هذه المقارنة الآن أسهل بكثير لحلها:
9 - 6y - 2y = 4
5 - 8 سنوات = 0
8 س = 5
ذ = 5/8

الآن بعد أن عرفنا y ، يمكننا حساب x:
س = 3 - 2 * 5/8 = 3 - 1¼ = 1¾

الحل هو إذن x = 1¾ و y = 5/8. وأخيرا الشيك:
1) 3 * 1¾ - 2 * 5/8 = 5¼ - 1¼ = 4
2) 2 * 1¾ + 4 * 5/8 = 3½ + 2½ = 6

كلا الحلول صحيحة!

طريقة القضاء

في طريقة الإزالة ، نقوم بإجراء مقارنة جديدة عن طريق إضافة أو طرح مقارنات كاملة. نحاول القيام بذلك بطريقة يتم فيها إزالة أحد المجهولين. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا معادلتين مع 2x ، فيمكننا القضاء على x بطرح المعادلات من بعضها البعض. ثم اختفى x من المعادلة الجديدة. والنتيجة هي مقارنة مع واحد غير معروف ، والذي هو أسهل بكثير لحلها.
سنقوم بتوضيح الطريقة مع المثال التالي:
1) 2x + 3y = 8
2) س + 4 س = 9

نقوم بضرب المعادلة الثانية بدقيقتين ، بحيث تكون في المعادلتين 2x:
2x + 8y = 18

الآن نخصم المقارنة الأولى:
2x + 8y = 18
2x + 3y = 8
---------------
5 س = 10

هذه المقارنة سهلة الحل:
5 س = 10
ص = 2

الآن وقد وجدنا y ، يمكننا أن نجد x بإدخال واحدة من المعادلات الأصلية:
2x + 3 * 2 = 8
2x + 6 = 8
2x = 2
س = 1

الحل هو إذن x = 1 و y = 2. أخيرًا تحقق مرة أخرى:
1) 2 * 1 + 3 * 2 = 2 + 6 = 8
2) 1 + 4 * 2 = 1 + 8 = 9

الحل هو الصحيح إذن!

فيديو: طريقة سحرية في حل نظام المعادلات الخطية (أبريل 2020).

ترك تعليقك